Алгебраические числа

Следующий результат совсем не очевиден, его доказательство принадлежит великому математику 20 века Гёделю и основано на идее нумерации.

Множество конечных последовательностей рациональных чисел счетно.

Доказательство. Пусть N какой-нибудь пересчет рациональных чисел. Найдем по формуле номер конечной последовательности рациональных чисел

,

где pn – простое число с номером n, т.е. p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, … Поскольку каждое натуральное число однозначно разлагается на простые множители, то по номеруоднозначно восстанавливаются номера N(x1), N(x2), …, N(xn), а по каждому из них и рациональные числа x1, x2, …, xn. ÿ

Для нас центральным в этом пункте является следующая

Теорема 3. Множество алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Каждый многочлен полностью задается своими коэффициентами, значит, многочлен с рациональными коэффициентами полностью определяется конечной последовательностью рациональных чисел. Следовательно, по теореме 2 таких многочленов счетное число. Каждый из многочленов имеет конечное число корней, значит, алгебраических чисел заданной степени счетное число. Множество алгебраических чисел представляют собой объединение указанных множеств, значит, по теореме 1 это множество счетно. ÿ

30. Число точек на отрезке [0;1].

Теорема Кантора. Точек на отрезке [0;1] несчетное множество.

Доказательство. Применим так называемый процесс Кантора. Предположим от противного, что точек на отрезке [0;1] счетное число, значит, их можно выписать в последовательность a1, a2, a3, … Запишем каждое из чисел в виде бесконечной десятичной дроби:

a1 = 0, a11 a12 a13 …,

a2 = 0, a21 a22 a23 …,

a3 = 0, a31 a32 a33 …, и т.д.

Построим число, лежащее на отрезке [0;1] и отличное от перечисленных. Для этого положим b = 0, b1b2 … bn …, считая, что все цифры, входящие в запись числа b отличны от 0 и 9, а также цифра b1 отлична от цифры a11, цифра b2 отлична от цифры a22, …, цифра bn отлична от цифры ann, и т.д. Если b оказалось бы равным некоторому числу an, то были бы равны цифры bn и ann, что противоречит определению числа b. ÿ

Теперь мы можем дать ответ на сформулированный в начале пункта вопрос: каких чисел больше алгебраических или неалгебраических? Больше чисел неалгебраических, чем алгебраических, поскольку первое множество несчетно, а второе счетно.

У приведенной теоремы Кантора есть один «серьезный недостаток», она не позволяет указать хотя бы одно неалгебраическое число.

Впервые о существовании трансцендентных чисел заявил Лиувилль в 1844 году, заметив, что иррациональные алгебраические числа не допускают «очень сильных» приближений рациональными числами. Эрмит в 1873 году доказал трансцендентность числа e, а трансцендентность числа p доказал Линдеман в 1882 году. Следует отметить особо, что с помощью этого факта была решена проблема, стоявшая почти 20 веков – задача о квадратуре круга: можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат равновеликий кругу радиуса 1?

На языке алгебраических чисел задачу о квадратуре круга можно переформулировать так: можно ли число p записать в виде алгебраического выражения, содержащего рациональные числа, знаки арифметических действий и знак квадратного корня (знаки действий и корня могут использоваться любое конечное число раз).

Технологическая карта формирования УУД при реализации проектного обучения
Технологическая карта урока – что это. Для полноценного и эффективного использования технологических карт необходимо знать ряд принципов и положений, которые помогут работать с ней. Технологическая к ...

Общие методы обучения химии
При объяснительно-иллюстративном методе учитель сообщает учащимся готовые знания, используя разные частные и конкретные методы - объяснение учителя, работа с книгой, магнитофоном и т. д. При этом, ес ...