Алгебраические числа

Сумма алгебраического числа γ и рационального числа a является алгебраическим числом.

Число, противоположное к алгебраическому, является алгебраическим. Действительно, если γ – корень многочлена c0xn + c1xn - 1 + … + cn, то - γ – корень многочлена c0xn - c1xn - 1 + … + (- 1)ncn (знаки многочлена чередуются).

Число, обратное к алгебраическому, является алгебраическим. Действительно, если γ – ненулевой корень многочлена c0xn + c1xn - 1 + … + cn, то γ - 1 – корень многочлена c0 + c1x + … + cnxn.

50. Степень алгебраического числа.

Определение. Число n называется степенью алгебраического числа γ, если γ - корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является γ.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратичная иррациональность представляет собой алгебраическое число второй степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого - либо линейного уравнения с целыми коэффициентами. Алгебраические числа степени 3 часто называют кубическими иррациональностями, а степени 4 – биквадратичными иррациональностями.

Пример. - алгебраическое число степени 3.

Действительно, это число есть корень уравнения третьей степени с целыми коэффициентами x3 – 2 = 0 и не является корнем никакого многочлена первой или второй степени с целыми коэффициентами. Последнее утверждение нуждается в более строгом обосновании. Для этой цели нам потребуется определение минимального многочлена алгебраического числа.

60. Минимальный многочлен алгебраического числа.

Определение. Пусть γ – алгебраическое число. Многочлен μ(x) с рациональными коэффициентами называется минимальным многочленом числа γ, если выполнены два условия:

- μ(x) неприводим, т.е. его нельзя представить в виде произведения многочленов положительной степени;

- μ(γ) = 0, т.е. γ – его корень.

Обычно, минимальным многочленом числа γ называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, корнем которого является γ. Условие на старший коэффициент позволяет однозначно определить минимальный многочлен для каждого алгебраического числа.

Важнейшее свойство минимального многочлена числа γ – он является делителем любого многочлена, корнем которого служит число γ. Отсюда вытекает, что неприводимый многочлен, корнем которого является число γ, совпадает с минимальным. Учитывая, что многочлен x3 – 2 неприводим, получаем, что он минимальный для числа .

Отметим также, что степень алгебраического числа совпадает со степенью его минимального многочлена.

60. Поле алгебраических чисел.

Теорема. Множество A всех комплексных алгебраических чисел является полем, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного b ¹ 0) являются алгебраическими числами.

Приведем доказательство этого факта по двум причинам. Во-первых, оно совершенно не очевидно. Даже в простом случае суммы нескольких квадратных корней достаточно трудно найти минимальный многочлен для их суммы. Пусть, например,

О вреде спиртных напитков
Цели и задачи: Предоставить школьникам информацию о вреде алкоголизма; формировать потребность в здоровом образе жизни. Реквизит: игровые картинки. План: Краткая информация. Игра № 1. Демонстрация ри ...

Содержание научно-технического творчества в общеобразовательной школе
Современные теории обучения ориентированы, в первую очередь, на приобретение умений конструирования целостной мировоззренческой картины бытия. Накопленный багаж знаний в предметно ориентированной сис ...