Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

8. Проверить, что следующие числа являются комплексно сопряженными:

а) (2 + 5i)4(4 - 3i)8 и (2 - 5i)4(4 + 3i)8; б) и .

9. Используя комплексные числа, доказать тождество Эйлера:

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2.

10. Пусть многочлен f с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z. Доказать, что комплексно-сопряженное число также является корнем f.

11. Доказать, что

а) модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; что можно утверждать о модуле частного и модуле разности двух комплексных чисел?

б) модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей слагаемых;

12. Решить уравнение:

а) = a + bi; б) = a + bi.

13. Решить графически и аналитически уравнение:

а) z + ½z½= 1 - i; б) z + ½z + 1½= i.

14. Построить точки, изображающие комплексные числа:

а) 1 + i, б) 1, в) -1, г) i,

д) -i, е) -1 + 2i, ж) 2 - 3i, з) sina + icosa.

15. Найти тригонометрическую форму комплексного числа:

а) 1, б) -1, в) i, г) - i, д) 1 + i, е) -1 + i.

17. Доказать справедливость равенств:

а) , arg ;

б) , arg .

18. Вычислить:

, arg ;

19. Нарисовать множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) ½z½= 1; б) ½z½£ 1; в) ½z½> 2; г) 1 £½z½£ 2;

д) arg z = ; е) arg z = ; ж) arg z = p; з) arg z = 0.

20. Доказать, что расстояние между точками z и t равно ½z - t½.

21. Изобразить множество точек z таких, что

а) ½z - i½= 1; б) ½z - i½£ 1; в) ½z - i½< 1; г) ½z - i½³ 1.

22. Какое множество точек z задается условиями:

а) ½z - 1½= ½z - i½; в) ½z + 1½=½z - i½=½z + i½;

б) ½z + i½=½z + 1 - i½; г) ½z - 1½=½z - 2i½=½z + 1 + i½.

23. Найти расстояние от точки z0 до множества M:

а) z0 = 2, M = {z½arg z = }; в) z0 = -1 + i, M = {z½arg z = p};

б) z0 = -2i, M = {z½arg z = }; г) z0 = 4 + 3i, M = {z½arg z = 0}.

24. Найти расстояние от точки 2 + 3i до множества M:

а) M = {z½arg z = }; в) M = {z½arg z = };

б) M = {z½arg z = }; г) M = {z½arg z = }.

25. Считая ½z½£ 1, найти указанное значение:

а) min ½1 + i - z½; в) min ½3 + 2i - z½;

б) max ½1 + i - z½; г) max ½3 + 2i - z½.

26. Найти расстояние между множествами точек:

Практическое применение различных видов кистевой росписи Хохломы
Золотая хохлома – яркое самобытное явление русского народного декоративно прикладного искусства. Этот традиционный художественный промысел имеет более чем трехсотлетнюю историю. Он возник в XVII стол ...

Идея развития в теории и методике физической культуры
Использование общей категории "развитие" и связанных с ней концепций развития в специализированных дисциплинах, которые рассматривают факторы, воздействующие на человека, и следствия их воз ...