Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

Список упражнений и задач для контроля

Симметрические многочлены

1. Напишите несколько переименований для 5 переменных: x, y, z, p, q.

2. Допустим, что мы выполнили последовательно переименования (12) и (13). Тогда получилось новое переименование, которое назовем произведением и запишем в виде (12)(13). Найти произведения: (12)(13), (12)(123), (12)(123)(12).

3. Приведите пример симметрического многочлена от 3, 4, 5 переменных.

4. Проверьте симметричность многочленов относительно указанных переменных:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) xy + zt + x3,

б) x3 + y3 + z3 + t2, г) x2 + y2 – xy.

5. Перечислите элементарные симметрические многочлены от x, y, z, t.

6. Восстановите многочлен, если известно его представление через элементарные симметрические многочлены:

а) f = φ13 - 3φ1φ2, в) f = φ14 - φ22 - φ1φ3,

б) f = φ13 - 4φ1φ2 + φ3, г) f = φ12φ2 - 3φ4.

7. Выразить многочлен через элементарные симметрические многочлены:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) (x + y)(y + z)(z + x),

б) x2y + xy2 + x2z + zx2 + y2z + yz2, г) (x + y - z)(y + z - x)(z + x - y).

8. Расположите в убывающем порядке векторы показателей данной степени для старших членов, меньших данного набора:

(2,2,0,0,0), (3,0,0,0), (3,1,0,0,0), (3,3,0,0), (2,2,2,0), (4,1,0,0).

9. Сколько существует элементарных симметрических многочленов от 3 и 4 переменных? Перечислите их.

10. Как записать симметрическую дробь f/g в виде дроби с несимметричным знаменателем?

11. Почему симметрическую дробь можно представить в виде отношения двух симметрических многочленов?

12. Найти значение симметрического многочлена S от корней многочлена f:

а) S = x12x22 + …, f = x2 - x – 1; б) S = x12x2x3 + …, f = 2x2 - 3x + 1.

13. Пусть x1, x2, x3 – корни уравнения

а) x3 - 3x + 1 = 0, в) x3 - 2x2 + 3x – 1 = 0,

б) x3 + 3x – 1 = 0, г) x3 + 3x2 - 2x – 1 = 0.

Составить уравнения, имеющие указанные корни:

1) а) x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, б) x1 + x2 - x3, x2 + x3 - x1, x3 + x1 - x2,

2) а) 1/x1, 1/x2, 1/x3, б) 1/x1 + 1/x2, 1/x2 + 1/x3, 1/x3 + 1/x1,

3) а) x12, x22, x32, б) x1x2, x2x3, x3x1.

Комплексные числа

1. Вычислить:

а) (1 + 2i)(2 + 3i); б) (5 - 2i)(2 - 3i), в) (2 + 3i)(3 - 4i);

г) (1 + 2i)2, д) (1 + i)4, е) (1 + i)100.

2. Представить комплексное число в алгебраической форме:

а) ; б) ; в) ; г).

3. Упростить выражение, считая действительными числа a и b:

а) (2 + i)5 +(2 - i)5, б) (1 + 2i)5 +(1 - 2i)5;

в), г);

4. Какие действительные числа a и b удовлетворяют уравнению:

а) (1 + i)a + (2 + 3i)b = 1 + 2i; б) (1 - 2i)a + (4 - 3i)b = 6 - 7i ?

5. Найти комплексные числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:

(3 - i)x + (4 + 2i)y = -1 + 3i, (4 + 2i)x - (2 + 3i)y = 7.

6. Найти комплексные корни квадратного уравнения:

а) z2 + (2 - i)z - 3(1 + i) = 0; г) z2 - 5z + 7 + i = 0;

б) z2 + (1 + i)z - 3(2 - i) = 0; д) z2 - (2 + i) z + (-1 + 7i) = 0;

в) z2 - 3z + 3 + i = 0; е) z2 - (3 - 2i) z + (5 - 5i) = 0.

Определение. Комплексное число a - bi называется комплексно сопряженным к числу a + bi; обозначение .

7. Доказать свойства комплексного сопряжения:

а) ; б) ; в) ; г) .

Отечественная методология внеклассного чтения
Путь отечественной методики к читателю-школьнику был долгим и неровным. Его характеризовали подъемы и спады, удачи и поражения, яркие эпизоды сотрудничества учителя и учеников и годы отчуждения. Слов ...

Дидактические функции сети интернет
Создание всемирной компьютерной сети, получившей название Интернет, стало одним из наиболее революционных достижений за последние десятилетия, которое значительно повлияло на образовательный процесс ...