Первичные понятие и простейшие свойства

Доказательство рассмотрим на примере. Пусть дан j-одночлен S = aj1ij2jj3k, т.е. одночлен от элементарных симметрических, зависящих от трех переменных x, y, z (a – произвольное число, отличное от нуля). Для того чтобы найти его старший член необходимо перемножить старшие члены элементарных симметрических многочленов. Ясно, что старший член j1 равен x, старший член j2 равен xy, старший член j3 – это xyz. Следовательно, старший член многочлена aj1ij2 jj3k имеет вид

axi(xy) j(xyz)k = axi+j+k y j+k zk.

Заметим, что если известен старший член u для j-одночлена S = aj1ij2jj3k, то можно найти числа a, i, j, k. Например, если u = 2x5y4z3, то a = 2,

i + j + k = 5, j + k = 4, k = 3,

значит, i = j = k = 1.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.

10. Представление симметрического многочлена через элементарные.

Основная теорема. Всякий симметричный многочлен единственным образом можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических.

Доказательство приведем на конкретном примере, рассматривая симметрический многочлен f = x3 + y3 + z3. Представление f в виде многочлена от элементарных симметрических оформим в виде алгоритма:

Шаг 0. Вводим начальный многочлен f0 = f, и находим его старший член – это x3. Используя лемму 2, восстанавливаем по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических, в данном случае получаем s0 = φ13. Отметим еще раз, что многочлены f0 и s0 имеют одинаковые старшие члены.

Шаг 1. Полагаем f1 = f0 - s0:

f1 = f - s0 = x3 + y3 + z3 - (x + y + z)3 = – 3(x2y + y2x + …) - 6xyz.

В последней скобке стоят одночлены указанного вида от трех переменных; коэффициенты определяются по формуле «куба суммы».

Далее, находим старший член f1 - это одночлен –3x2y; и восстанавливаем по нему одночлен s1 от элементарных симметрических: s1 = –3φ1φ2. Отметим, что старшие члены многочленов f1 и s1 совпадают.

Шаг 2. Положим f2 = f - s1 = – 3(x2y + y2x + …) – 6xyz + 3φ1φ2 =

= – 3(x2y + y2x + …) – 6xyz + 3(x + y + z)(xy + yz + zx) =

= (-6 + 9)xyz = 3xyz = 3φ3.

В общем случае указанный алгоритм выдает две конечные последовательности многочленов: f0, f1, f2, … (в нашем случае f0, f1, f2), s0, s1, s2, … (в нашем случае s0, s1). В нашем случае f2 = 3φ3, процесс закончился на шаге 2, когда мы получили одночлен от элементарных симметрических. Положим s3 = 3φ3, и запишем систему равенств f0 = f,f1 = f0 – s0, f2 = f1 – s1, s2 = f2. Складывая почленно полученные равенства, получаем s2 = f - s0 - s1, откуда находим f = s0 + s1 + s1. Значит, f - сумма j-одночленов и в нашем случае f =j13 - 2j1j2 + 3φ3. ÿ

20. Метод неопределенных коэффициентов. Из доказательства основной теоремы вытекает

Следствие. Всякий симметрический многочлен f представим в виде многочлена g от элементарных симметрических, причем коэффициенты g являются целыми числами, если целыми числами были коэффициенты многочлена f.

Отметим без доказательства, что многочлен g, о котором идем речь в последнем утверждении находится по многочлену f однозначно. На этом замечании основан еще один способ представления симметрического многочлена через элементарные симметрические, называемый методом неопределенных коэффициентов. Этот метод является более эффективным при решении задач.

Проиллюстрируем его на примере многочлена f = x3 + y3 + z3. Так как наш многочлен содержит 3 переменные, то давайте распишем вектор-показателей (в данном случае тройку чисел), который отвечает показателям старшего члена при переменных x, y, z. Он имеет вид (3,0,0) (при x – степень 3, при y – 0, при z - 0).

Согласно алгоритму, указанному в основной теореме, на каждом шаге происходит уменьшение вектора показателей степеней у старшего члена. Выпишем тройки чисел показателей для всевозможных старших членов, заметив, что их компоненты располагаются в невозрастающем порядке согласно лемме 1:

(3,0,0) – соответствует старшему члену x3

(2,1,0) – соответствует старшему члену x2y

(1,1,1) – соответствует старшему члену xyz

Для каждой из троек приведем соответствующие φ–одночлены (т.е. одночлены от элементарных симметрических многочленов):

(3,0,0) → φ13

(2,1,0) → φ1φ2

(1,1,1) → φ3

Значит, многочлен f можно представить в виде f = aφ13 + bφ1φ2 + cφ3, где a,b,c – некоторые числа. Их нам надо найти.

Для того, чтобы их отыскать надо поступить так: присвоить какие-нибудь значения переменным x, y, z и посчитать в этой точке значения многочленов f, φ1, φ2, φ3.

Тем самым, каждый раз возникает линейное уравнение на числа a, b, c. Взяв необходимое число различных точек, и решив соответствующую систему линейных уравнений, найдем a, b, c. Для простоты вычислений точки надо выбирать так, чтобы в них было по возможности больше нулей, и при подстановке в наше равенство получилось бы уравнение относительно одной неизвестной. Обычно берут точки

Характеристика и типы детских общественных организаций
Детское общественное объединение - одна из структур в многообразии молодёжных движений, форма организации детской самодеятельности, социальной активности, самореализации; особая педагогически организ ...

Особенности речи детей с ФФН
Хорошая речь – важнейшее условие всестороннего полноценного развития детей. Чем богаче и правильнее речь ребенка, тем легче ему высказывать свои мысли, тем шире его возможности в познании окружающей ...