История развития числовых понятий

Аналитическая геометрия.

Аналитическая или координатная геометрия была создана независимо видными французкими математиками П. Ферма (1601–1665) и Р. Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие – осознание всей мощи алгебраических методов – принадлежит Декарту. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.

Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у.

Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству». Следует отметить, что идея введения координат и проблемы, связанные с решением диофантовых уравнений, привели к открытию алгебраической геометрии – одного из важных разделов современной математики.

Основания математики.

Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым, обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств. Задача усиления строгости формулировок евклидовой геометрии была сравнительно простой и сводилась к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, введению недостающих аксиом и восполнению пробелов в доказательствах. Эту задачу выполнил в 1899 г. великий немецкий математик Д.Гильберт (1862–1943). Почти в то же время были заложены и основы других геометрий. Гильберт сформулировал концепцию формальной аксиоматики. Одна из особенностей предложенного им подхода – трактовка неопределяемых терминов: под ними можно подразумевать любые объекты, удовлетворяющие аксиомам. Следствием этой особенности явилась возрастающая абстрактность современной математики. Евклидова и неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Но в топологии, являющейся обобщением геометрии, неопределяемый термин «точка» может быть свободен от геометрических ассоциаций. Для тополога точкой может быть функция или последовательность чисел, равно как и что-нибудь другое. Абстрактное пространство представляет собой множество таких «точек».

Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки – мощности множества (трансфинитные числа). При этом был обнаружен ряд парадоксов в теории множеств. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований математики, такими, как неявное использование аксиомы выбора; ряд сомнений вызывал и закон исключенного третьего (или доказательство от противного). Однако ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты, доказанной великим К.Гёделем (1906–1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, использующая аксиоматику натурального ряда, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках формальной системы. Тем самым, было доказано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. Действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие открытых формальных логических структур; это показывает, что в основе математики лежит не формальная логика, а здравая интуиция.

Анализ учебников русского языка с точки зрения изучения в них слов-антонимов
Изучив учебники русского языка по традиционной программе, можно говорить о ярко выраженном недостатке в отношении работы над антонимами: в учебниках просто нет такой темы. Знакомство с антонимами, бе ...

Процессуальная сторона деятельности специалистов социальных служб
Составление индивидуальных карт Как показывают психологические исследования и практика, вмешательство со стороны встречает ярко выраженное сопротивление членов неблагополучной семьи. Хронические проб ...