Признаки делимости

Определение. Будем говорить, что целое число а нацело делится на целое число b не равное 0 (а b) если существует целое число c, такое что a = b·c.

Свойства делимости.

1. Если а b, то kаb.

Доказательство.

а b Þ a = bc Þ kа = k(bc) Þ kа = (kb)c Þ kаb.

2. Если а b, b , то а с.

Доказательство.

а b Þ a = bk, b Þ b = ст Þ a = с(тk) Þ а с.

3. Если а с и b , то сумма (а + b) с.

Доказательство.

а с Þ a = ст, b Þ b = сk Þ (а + b) = с(т + k).

Так как т и k – целые числа, то и т + k – это целое число. Значит, (а + b) с.

Следствие. Если сумма нескольких слагаемых делится на с и все слагаемые кроме одного делятся на с, то последнее слагаемое тоже делится на с.

Доказательство.

Пусть т = а1 + а2 + … + аk–1 + аk Þ аk = т – (а1 + а2 + … + аk–1).

По условию:

т = сb, а1 = cb1, …, аk–1 = cbk–1 Þ

аk = c(b – (b1 + … + bk–1)) Þ аk с.

Признак делимости чисел на 2

Число делится на 2, если последняя цифра числа делится на 2.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с десятков, делится на 2. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 2, достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2 (Следствие из свойства 3).

Например:

172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

Лемма. Для любого n ≥ 1 (10n – 1) 3.

Доказательство. (ММИ)

1. При n = 1: (101 – 1) 3.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (10k – 1) 3

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (10k+1 – 1) 3.

(10k+1 – 1) = (10 · 10k – 1) = [10(10k – 1) + 9] 3, так как первое слагаемое 10(10k – 1) делится на 3 по предположению и второе слагаемое 9 также делится на 3.

устный счет делимость число

Обоснование: = an · 10n + … + 10а1 + а0 =

аn(10n – 1) + an + … + (10 – 1)а1 + а1 + а0 =

[аn(10n – 1) + … + 9a1] + [аn +… + а1 + а0].

Первое слагаемое [аn(10n – 1) + … + 9a1] нацело делится на 3 по лемме. Для того чтобы вся сумма делилась на 3, нужно чтобы второе слагаемое тоже делилось на 3, а второе слагаемое [аn +… + а1 + а0] – это и есть сумма всех цифр (Следствие из свойства 3).

Например:

39 (3 + 9 = 12; 12 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 213 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют число, кратное 4.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с сотен, делится на 4. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 4, достаточно, чтобы число образованное последними двумя цифрами, было кратно 4 (Следствие из свойства 3).

Почему эти проблема актуальна для нашего дошкольного учреждения
Руководствуясь программой «Детство», которая предлагает насыщенное образовательное содержание, соответствующее познавательным интересам современного ребенка. Исходя из принципов гармоничности образов ...

Расширение лексического запаса учащихся
Рассмотрим пути выработки лексического навыка, который представляет собой быстрое учебное действие по выбору лексической единицы, ее правильное сочетание с другими единицами речи и ее ситуативность. ...