Признаки делимости

Определение. Будем говорить, что целое число а нацело делится на целое число b не равное 0 (а b) если существует целое число c, такое что a = b·c.

Свойства делимости.

1. Если а b, то kаb.

Доказательство.

а b Þ a = bc Þ kа = k(bc) Þ kа = (kb)c Þ kаb.

2. Если а b, b , то а с.

Доказательство.

а b Þ a = bk, b Þ b = ст Þ a = с(тk) Þ а с.

3. Если а с и b , то сумма (а + b) с.

Доказательство.

а с Þ a = ст, b Þ b = сk Þ (а + b) = с(т + k).

Так как т и k – целые числа, то и т + k – это целое число. Значит, (а + b) с.

Следствие. Если сумма нескольких слагаемых делится на с и все слагаемые кроме одного делятся на с, то последнее слагаемое тоже делится на с.

Доказательство.

Пусть т = а1 + а2 + … + аk–1 + аk Þ аk = т – (а1 + а2 + … + аk–1).

По условию:

т = сb, а1 = cb1, …, аk–1 = cbk–1 Þ

аk = c(b – (b1 + … + bk–1)) Þ аk с.

Признак делимости чисел на 2

Число делится на 2, если последняя цифра числа делится на 2.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с десятков, делится на 2. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 2, достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2 (Следствие из свойства 3).

Например:

172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

Лемма. Для любого n ≥ 1 (10n – 1) 3.

Доказательство. (ММИ)

1. При n = 1: (101 – 1) 3.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (10k – 1) 3

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (10k+1 – 1) 3.

(10k+1 – 1) = (10 · 10k – 1) = [10(10k – 1) + 9] 3, так как первое слагаемое 10(10k – 1) делится на 3 по предположению и второе слагаемое 9 также делится на 3.

устный счет делимость число

Обоснование: = an · 10n + … + 10а1 + а0 =

аn(10n – 1) + an + … + (10 – 1)а1 + а1 + а0 =

[аn(10n – 1) + … + 9a1] + [аn +… + а1 + а0].

Первое слагаемое [аn(10n – 1) + … + 9a1] нацело делится на 3 по лемме. Для того чтобы вся сумма делилась на 3, нужно чтобы второе слагаемое тоже делилось на 3, а второе слагаемое [аn +… + а1 + а0] – это и есть сумма всех цифр (Следствие из свойства 3).

Например:

39 (3 + 9 = 12; 12 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 213 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют число, кратное 4.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с сотен, делится на 4. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 4, достаточно, чтобы число образованное последними двумя цифрами, было кратно 4 (Следствие из свойства 3).

Развитие физических качеств на уроках баскетбола
С восьмого класса учащиеся должны принимать участие в различных соревнованиях по баскетболу, хорошо зная правила соревнований. Поэтому на уроках физической культуры должны развиваться физические каче ...

Инновационное обучение и традиционная культура
Сегодня активно дискутируется вопрос о соотношении традиций и инноваций в современном образовании. Эта проблема оборачивается неожиданной стороной в предлагаемой нами модели обучения родителей вместе ...