Построение поверхностей вращения второго порядка методом параллельных ссечений

Наиболее сложный вопрос при решении задач, это изображение, построение поверхностей. При построении поверхности вращения второго порядка по его уравнению широко используют метод параллельных сечений. Суть метода параллельных сечений заключается в том, чтобы, используя уравнение поверхности вращения второго порядка, получить линии второго порядка, расположенные в плоскостях параллельных координатным.

Для этого поверхность рассекают множеством плоскостей параллельных координатным, в каждой плоскости должна получиться линия второго порядка. Какая это будет линия зависит от уравнения поверхности второго порядка.

Данный способ довольно прост для понимания, так как связан с темой линии второго порядка, которая изучается перед темой поверхностей второго порядка, и позволяет наиболее четко изобразить объемную поверхность второго порядка на плоском листе ватмана.

Ниже будут представлены построения поверхностей вращения второго порядка таких как эллипсоида вращения, однополостного гиперболоида вращения, двуполостного гиперболоида вращения, эллиптического параболоида вращения.

Примеры построения поверхностей вращения второго порядка

Эллипсоид вращения

, a=b (1)

При построении этой поверхности воспользуемся методом параллельных сечений. Рассмотрим сечения плоскостей параллельных плоскости ХОУ. Уравнение такой плоскости имеет вид z=h, если плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами о, о, h, подставляя это значение z в уравнение (1), получим следующее равенство: (2). Разделим его и положим , . Получим уравнение эллипса, который является проекцией сечения плоскость ХОУ: . Это возможно лишь в том случае, когда |h| <c. В противном случае уравнение (2) решений не имеет, то есть секущая поверхность не пересекает числа и принимает наибольшее значение при h=0. В сечении поверхности плоскостью ХОУ получается окружность с полуосями а и b. Оси окружностей уменьшаются при изменении |h| от о до с.

При пересечении поверхностью XOZ (y=o) получается эллипс: , плоскостью XOZ (x=0) - эллипс .

Этим эллипсом принадлежат концы осей эллипсов, полученных при пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости ХОУ.

Положительные числа а, в, с называется полуосями эллипсоида. Если , то он называется трехосным. В нашем случае а=b это эллипсоид вращения, так все его сечения плоскостями z=h (|h|<c) являются окружностями. При a=b=c получаем сферу, так как уравнение (1) принимает вид: .

Изображение эллипсоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис.17.).

Однополостный гиперболоид вращения

, a=b (3)

Чтобы построить форму поверхности, рассмотрим сечения её плоскостями, параллельными плоскости ХОУ. Уравнение такой плоскости: z=h. Подставим это значение z в уравнение (3), получим: (4). Проекция сечения на плоскость ХОУ - окружность, заданная уравнением (4). Её полуоси равны . Наименьшая окружность получается при h=0, то есть в сечении поверхности плоскостью ХОУ. Сечение поверхности плоскостью ХОУ (y=0) - гипербола. Её уравнения .

В сечении плоскостью XOZ (x=0) получим также гиперболу, заданную уравнением . В приложении 10 изображен однополостный гиперболоид и его сечения плоскостями XOZ, YOZ и некоторыми плоскостями, параллельными ХОУ.

Начальный этап становления личности ребенка
В старшем дошкольном возрасте (5,5 - 7 лет) отмечается бурное развитие и перестройка в работе всех физиологических систем организма ребенка: нервной, сердечно - сосудистой, эндокринной, опорно-двигат ...

Скоростное конспектирование фраз
Рассмотренные приемы записи слов, символов и словосочетаний просты и после непродолжительной тренировки выполняются автоматически. Приемы конспектирования фраз более сложные, так как требуют осмыслен ...